课程大纲

AP微积分课程包括微积分AB (Calculus AB) 和微积分BC(Calculus BC)两门课。

微积分AB内容大约占了大学一年的微积分课程内容的三分之二，而微积分BC则包括了大学一年的微积分课程内容的全部。

学习AP Calculus之前，需要学习以下先行数学知识：代数algebra, 几何geometry, 三角学trigonometry, 解析几何analytic geometry, and 初等函数elementary functions (线性linear, 多项式polynomial, 有理函数rational, 指数exponential,对数 logarithmic, 三角函数trigonometric, 反三角函数inverse trigonometric and 分段函数piecewise)。

微积分BC是微积分AB的延伸和扩展，不过对共同内容的理解深度和要求却是一致的。鉴于中国学生优秀的数学能力，一般在国内只开设微积分BC（难度较高一级）。

AB课程的主要内容：

I．函数（Functions）、图像（Graphs）、极限(Limits) ：包括图象分析（Analysis of graphs）、函数的极限（Limits of functions）、渐进和无穷（Asymptotic and unbounded behavior）、函数的连续性（Continuity as a property of functions）

Ⅱ.  导数（Derivatives）：包括导数的概念（Concept of the derivative）、在一个点处的导数（Derivative at a point）、导函数（Derivative as a function）、二阶导数（Second derivatives）、导数的应用（Applications of derivatives）、导数的运算（Computation of derivatives）等内容

Ⅲ．积分(Integrals)：包括积分的概念和性质（Interpretations and properties of definite integrals）、积分的应用（Applications of integrals）、微积分基本定理（Fundamental Theorem of Calculus）、不定积分（Techniques of anti-differentiation）、不定积分的应用（Applications of anti-differentiation）、定积分的数值计算（Numerical approximations to definite integrals）

微积分BC课程的主要内容除了包括微积分AB课程的全部内容之外，还增加了以下内容：平面曲线的参数方程(parametric equation)、曲线运动的向量方程 (velocity and acceleration vectors of motion along a curve)、极坐标曲线（polar curves）；广义积分（improper integrals）；无穷级数（infinite series）；在积分的应用中，增加了物理模型、经济模型、生物模型等。

细节类的知识点分类：打*部分为bc only！

A．Function函数
（1）函数的定义和性质（定义域值域、单调性、奇偶性和周期性等）
（2）幂函数（一次函数、二次函数，多项式函数和有理函数）
（3）指数和对数（指数和对数的公式运算以及函数性质）
（4）三角函数和反三角函数（运算公式和函数性质）
（5）复合函数，反函数
*（6）参数函数，极坐标函数，分段函数
（7）函数图像平移和变换

B．Limit and Continuity极限和连续
（1）极限的定义和左右极限
（2）极限的运算法则和有理函数求极限
（3）两个重要的极限
（4）极限的应用-求渐近线
（5）连续的定义
（6）三类不连续点（移点、跳点和无穷点）
（7）最值定理、介值定理和零值定理

C．Derivative导数
（1）导数的定义、几何意义和单侧导数
（2）极限、连续和可导的关系
（3）导数的求导法则（共21个）
（4）复合函数求导
（5）高阶导数
（6）隐函数求导数和高阶导数
（7）反函数求导数
*（8）参数函数求导数和极坐标求导数

D．Application of Derivative导数的应用
（1）微分中值定理（D-MVT）
（2）几何应用-切线和法线和相对变化率
（3）物理应用-求速度和加速度（一维和二维运动）
（4）求极值、最值，函数的增减性和凹凸性
*（5）洛比达法则求极限
（6）微分和线性估计，四种估计求近似值
（7）欧拉法则求近似值

E．Indefinite Integral不定积分
（1）不定积分和导数的关系
（2）不定积分的公式（18个）
（3）U换元法求不定积分
*（4）分部积分法求不定积分
*（5）待定系数法求不定积分

F．Definite Integral 定积分
（1）Riemann Sum（左、右、中和梯形）和定积分的定义和几何意义
（2）牛顿-莱布尼茨公式和定积分的性质
*（3）Accumulation function求导数
*（4）反常函数求积分

H．Application of Integral定积分的应用
（1）积分中值定理（I-MVT）
（2）定积分求面积、极坐标求面积
（3）定积分求体积，横截面体积
（4）求弧长
（5）定积分的物理应用

I．Differential Equation微分方程
（1）可分离变量的微分方程和逻辑斯特微分方程
（2）斜率场

*J．Infinite Series无穷级数
（1）无穷级数的定义和数列的级数
（2）三个审敛法-比值、积分、比较审敛法
（3）四种级数-调和级数、几何级数、P级数和交错级数
（4）函数的级数-幂级数（收敛半径）、泰勒级数和麦克劳林级数
（5）级数的运算和拉格朗日余项、拉格朗日误差